磁懸浮控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間設(shè)計(jì)
李莎1，許賢澤2
(1湖北第二師范學(xué)院，湖北武漢430205；2武漢大學(xué)，湖北武漢430079)
摘要：介紹了單電磁鐵懸浮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型，并以該動(dòng)態(tài)模型為基礎(chǔ)，采用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)了以電壓作為輸入控制量的閉環(huán)控制器，并且運(yùn)用Maflab進(jìn)行了相應(yīng)的仿真。該方法簡單實(shí)用，控制參數(shù)無需經(jīng)驗(yàn)試湊。試驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)控制效果良好，有一定的實(shí)用價(jià)值。
關(guān)鍵詞：磁懸浮系統(tǒng)；非線性；狀態(tài)空間法；極點(diǎn)配置
中圖分類號(hào)：TM301．2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1004—7018(2008)06—0010—03
磁懸浮系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)的系統(tǒng)控制器常采用基于傳遞函數(shù)模型的設(shè)計(jì)法(如HD設(shè)計(jì)法[1,2])，在設(shè)計(jì)過程中，其主要控制參數(shù)往往需要憑經(jīng)驗(yàn)試湊；而狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法是一類以系統(tǒng)狀態(tài)空間模型(即狀態(tài)空間表示式)為基礎(chǔ)的分析設(shè)計(jì)方法，基本上不需要憑經(jīng)驗(yàn)試湊。
1磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程
磁懸浮系統(tǒng)一般由多個(gè)電磁鐵組成，而其中每個(gè)電磁鐵的動(dòng)態(tài)模型一般是相同的。圖1為單個(gè)電
磁鐵與金屬導(dǎo)軌組成的懸浮系統(tǒng)工作原理圖。圖中，mg為電磁鐵重力,fd為外界擾動(dòng)量，F(xiàn)(i，t)為電磁吸力，z(t)為磁極表面相對(duì)參考平面的距離，h(t)為導(dǎo)軌表面相對(duì)參考平面的距離，c(t)為磁極與導(dǎo)軌問的氣隙，i(t)為控制線圈電流，u(t)為繞組回路的電壓。
取重力方向?yàn)檎较�，選擇(△c，△c，△i)T作為狀態(tài)變量，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行平衡點(diǎn)(i。，c。)附近線性化處理，可得以下狀態(tài)方程(忽略鐵心和導(dǎo)軌中的磁阻以及繞組漏磁通)：
鐵磁極面積，N是電磁鐵線圈匝數(shù)。
可見，此系統(tǒng)是一個(gè)三階開環(huán)系統(tǒng)。通過勞斯(Rol-th)判據(jù)可知，它具有不穩(wěn)定性。因此，為了保證電磁鐵能夠穩(wěn)定懸浮，需要給這個(gè)系統(tǒng)加一個(gè)反饋控制。
2狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法
狀態(tài)空間設(shè)計(jì)法是通過狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)狀態(tài)行為來實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)的。其著眼點(diǎn)是系統(tǒng)的內(nèi)部特性和系統(tǒng)狀態(tài)的行為。其設(shè)計(jì)任務(wù)是確定控制目標(biāo)和求解可實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)的狀態(tài)反饋控制律[3]。采用此設(shè)計(jì)方法需有一個(gè)前提，即系統(tǒng)必須具有能控性和能觀性。
2．1系統(tǒng)的能控性和能觀性
系統(tǒng)的能控性和能觀性都是系統(tǒng)的一種內(nèi)在特性，分別反映系統(tǒng)控制作用和輸出量與系統(tǒng)狀態(tài)之間的特征關(guān)系，它們都是由系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)和參數(shù)所決定的。忽略式(1)中的軌道形變△h(t)和動(dòng)態(tài)干擾fd(t)，可得該方程的系數(shù)矩陣:
通過式(2)、式(3)可知，系統(tǒng)的能控陣和能觀陣的秩均為3，故系統(tǒng)既可控又可觀。
2．2系統(tǒng)的極點(diǎn)配置
既然系統(tǒng)是完全能控的，則配置系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)，可以使得原來不穩(wěn)定的受控對(duì)象變?yōu)殚]環(huán)穩(wěn)定。由式(1)可知，以電壓為輸入控制的磁懸浮線性化系統(tǒng)是一個(gè)三階系統(tǒng) [4]。于是選擇一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)為：  式中：ζ和ωn分別是二階系統(tǒng)的阻尼系數(shù)和無阻尼自振角頻率。將另一個(gè)極點(diǎn)定于主導(dǎo)極點(diǎn)左邊較遠(yuǎn)的地方，使得該極點(diǎn)對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響很小。這樣就可以把系統(tǒng)看成是只有主導(dǎo)極點(diǎn)的二階系統(tǒng)。
設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)滿足以下動(dòng)態(tài)指標(biāo)：輸出超調(diào)量σ≤百分之2.O，調(diào)整時(shí)間ts≤O.10s。二階模型的超調(diào)量和調(diào)整時(shí)間近似計(jì)算公式：
取ζ=0.80，ωn=52，代人式(4)可得主導(dǎo)極點(diǎn)為λl,2=-41.6±j31．2，再選擇極點(diǎn)λ3，為十倍遠(yuǎn)，即λ3=-500，則系統(tǒng)期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：
3系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)與仿真
引入狀態(tài)反饋控制律：
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