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譚建成
（中國電器科學研究院，廣州510300）
摘要：為了獲得計時電阻和電感的 無刷直流電機的平均電磁轉矩的解析表達式，通過對反電勢梯形波平頂120度的三相無刷直流電動機換相過程進行分析，得到考慮繞組電磁時間常數(shù)的平均電流和平均電磁轉矩解析解，并以兩個典型樣機實測數(shù)據(jù)與計算結果對比驗證。給出的計算公式可用于工程計算和分析研究。 中圖分類號：TM36 +1 文獻標志碼：A 文室編號：1001-6848[2010)05-0013-06
O引 言
無刷直流電動機繞組參數(shù)包含電阻和電感。電感是對電機性能有重大影響的參數(shù)，但至今正式出版的包含無刷直流電機設計內(nèi)容的書籍基本上都采用直流電機模型（只考慮繞組電阻），忽略了繞組電感的影響，這就勢必導致電機性能的計算值與實際值之間有較大的偏差。從本文下面的例子可見，偏差十分明顯。而在分析換相過程對轉矩波動影響的文獻中，卻忽略了電阻只考慮電感的作用。這是因為求取同時計及電阻和電感的無刷直流屯動機數(shù)學模型解析解比較困難，還沒有一個可用于工程計算的簡潔的表達式的緣故。
無刷直流電動機換相過程各相電流變化以及其工作特性可以采用其數(shù)學模型借助仿真工具獲得數(shù)值解，但人們還是期望從其數(shù)學模型得到解析解。這是因為解析解能夠揭示電機內(nèi)在參數(shù)與外特性之間的函數(shù)關系，從而為電機設計和性能預測提供簡潔的計算方法，為電機性能的改善指出明確的方向。不少文獻在分析換相過程中假定反電勢梯形波形的平頂部分大于120度電角度，這個假定條件對于時間常數(shù)大換相過程比較長的電機，實際上就是要求平頂部分達到180度，這與實際的電機情況相差甚遠。文獻[15，16]平均電流和平均電磁轉矩取值范圍有誤，未能取得最終正確結果。
本文對梯形波反電勢平頂為120度的三相無刷直流電動機換相過程進行分析，給出了在一個換相周期內(nèi)三相電流瞬時值的解析解，進而得到平均電流和平均電磁轉矩的解析表達式。分析表明，無刷直流電動機的平均電流和平均電磁轉矩可表示為參數(shù)x的函數(shù)，體現(xiàn)了它們與繞組電磁時間常數(shù)的密切關系。給出轉矩系數(shù)KT與反電勢系數(shù)KE關系式。然后，以轉子磁片表面粘貼和磁片切向內(nèi)置兩個典型結構不同功率等級樣機的實測數(shù)據(jù)與公式計算結果對比驗證，也對比了計及電感和忽略電感計算結果的差異，說明本文的分析和給出的解析計算公式可用于無刷直流電動機的工程計算和分析研究。
1換相過程分析和三相電流過渡過程的解析表達式
下面的分析是對三相星型六狀態(tài)工作方式下的無刷直流電機進行，其電機和功率橋電路原理圖如圖l所示。
為方便換相過程的分析，作如下假設：
1)三相對稱，反電勢為梯形波，平頂部分等于120度電角度；
2)忽略開關管和續(xù)流二極管的管壓降。無刷直流電動機的換相過程的換流時間通常在毫秒級，而開關管本身的關斷時間在微秒級，因此完全可以忽略開關管本身關斷時間對換流過程的影響；
3)忽略電樞反應、齒槽效應和磁路飽和的影響；
4)相繞組的等效電感為常數(shù)；
5)換相過程中電機的轉速。保持恒定。
在圖1中，U為輸入到逆變器的直流電源電壓，R和L為一相的等效電阻和一相的等效電感，且有L=Ls-M，其中L。為相繞組自感，M為相繞組間的互感，假設磁路的磁阻不隨轉子位置而變化，Ls和M均為常數(shù)。u，e，i分別是各相的繞組端電壓、反電勢和電流的瞬時值。并規(guī)定相電流以流向繞組中心點為正向電流，相電壓以中心點為參考點。
電機等效電路的電壓平衡方程式為：
三相繞組橋式120度導通方式按如下順序換相：A/B - A/C - B/C - B/A - C/A - C/B。我們討論電機器從A/C相導通向B/C相導通換相過程，以及B/C相導通一個狀態(tài)角內(nèi)的有關物理量的變化。參見圖1和圖4，電機的換相過程如下：開關T2保持開通狀態(tài)不變，C相繞組電流持續(xù)，Tl關斷的同時T3開通，B相繞組電流由零開始上升，由于電感的存在A相繞組電流并不能馬上降為零，而是通過與T4反并聯(lián)的二極管D4續(xù)流下降，經(jīng)過一段時間t，A相電流降為零。然后，B、C相電流繼續(xù)增大，經(jīng)過時間￡：后本周期結束，下一次換相的來臨。在圖4給出一個換相周期T內(nèi)三相電流變化的示意圖。
B/C相導通狀態(tài)對應一個狀態(tài)角60度，一個狀態(tài)角對應的換相周期時間T，它分為兩個時間區(qū)間：T= t1+ t2。式中，n為電機轉速( r/min)，p為極對數(shù)。相繞組的電磁時間常數(shù)τ=L／R，用x表示一個狀態(tài)角換相周期時間與繞組電磁時間常數(shù)的比。
分兩階段進行換相過程分析如下：
1)第一階段，時間區(qū)間t，
這是A相電流關斷階段，從A相的開關Tl關斷開始，到A相電流降至零為止。此過程的等值電路如圖2所示。
由反電勢為平頂120度的梯形波的設定條件，在B/C相導通的換流過程中，三相繞組酌反電勢分別為（參見圖4）
根據(jù)圖2所示等值電路，可列出此階段的電壓平衡方程式為：
轉換為三相電流方程式
初始條件為：
求取微分方程的解，A相電流為：
在A相電流降到零所需要的時間t，有
利用近似公式：當α足夠小時，代人上式，得
可得A相電流降到零所需要的時間t1為：
同理A相電流簡化為：
同樣求得B相和C相電流的解為:
B相和C相電流的解簡化為：
在換相結束時刻t1時，B相和c相電流值為：
2）第二階段，時間區(qū)間T2
在此時間區(qū)間，A相電路斷開，B相和C相電流持續(xù)上升，其等值電路如圖3所示，以A相電流降至零時間為零時刻，由圖2可列出次階段的電壓平衡方程式為：
得B相和C相電流的解：
得初始電流的解：
2平均電流和平均電磁轉矩表達式
2.1電流平均值
電機試驗時可方便測量的電流時流經(jīng)電源母線上的平均電流值。這個平均電流值乘以電源母線電壓就是輸入功率。由于A相電流時通過與開關T4反并聯(lián)的二級管D2續(xù)流，它并不流過電源母線。所以，在我們討論的B/C相導通狀態(tài)角內(nèi)，電源母線上的平均電流值I只和B相電流有關，Ik是B相電流的平均值。
得到平均電流表達式為：
上市顯示，一臺電機由于電感的存在，與電感為零相比，同一轉速時的平均電流下降了。
2.2電磁特矩
在一個狀態(tài)角內(nèi)，三相電流都參與電磁轉矩氣的產(chǎn)生：
2.3平均電磁轉矩
在一個r周期內(nèi)電磁轉矩的平均值Ta.的計算：
其中，由式(3)得，
由式(7)得，
下面計算，
平均電磁轉矩表達式為：
式中，Tr= KE為只計電阻忽略電感時的平均電磁轉矩。
2.4平均電磁轉矩的近似公式
式(10)計算結果表明，對于x≥0 01，當Ku=2E/U≥0. 6，之比****不超過百分之10，當≥0.7，與t+k之比****不超過百分之5。為方便工程計算，可將，a忽略。這樣，平均電磁轉矩表示為如下近似公式：
上式顯示，一臺電機由于電感的存在，與電感為零相比，同一轉速時的電磁轉矩降低了。
3轉矩系數(shù)Kr與反電勢系數(shù)KE關系
定義轉矩系數(shù)KT等于平均電磁轉矩與平均電流之比( Nm/A)。當不計電感時，Kr數(shù)值上等于反電勢系數(shù)KE及電感時，由
上式顯示，當考慮了電感時，K> KE。這是續(xù)流的A相電流產(chǎn)生附加有效轉矩的緣故。從數(shù)值上來理解，由于轉矩系數(shù)等于平均電磁轉矩與平均電流之比，如前所述，平均屯流等于B相電流平均僮，平均電磁轉矩卻正比于A相和B相電流產(chǎn)生的轉矩，所以轉矩系數(shù)酶必然比反電勢系數(shù)KE大。
上述過程分析表明，在無刷直流電動機中，參與機電能量轉換產(chǎn)生電磁轉矩的除了從電源來的電流外。還有一個較小的電磁轉矩分量是由電流i。產(chǎn)生。從能量轉換觀點看，這個分量是從來自電源的能量先前已經(jīng)轉換成磁能存儲在繞組電感里，然后在續(xù)流過程中一部分的磁儲能再參與機電能量的
轉換，轉換成電磁功率，產(chǎn)生電磁轉矩。
4實例驗證計算
為了驗證上述分析和計算公式，下面對兩個具體電機的實際測定特性數(shù)據(jù)進行比對。這兩個
無刷直流電動機換相分析和電流轉矩解析表達式譚建成電機的數(shù)據(jù)均來自有關文獻，它們分別是磁片表面粘貼轉子有槽定子和磁片切向內(nèi)置轉子有槽定子，具有一定代表性的結構形式。為了便于與實測數(shù)據(jù)對比，我們只進行平均電流轉速特性的計算和比較。
例1 表貼式轉子有槽定子的無刷直流伺服電動機
在文獻[6]給出的電機型號為57BL-A-10-30 H的表貼式轉子有槽定子的無刷直流伺服電動機，100W，星形接法，P=4，一相繞組R- 320，t=
115 -8 =107 mH，329 V時的理想空載轉速=5950 r/min。該文給出該樣機的實測電流值對應于圖5的曲線2。其中5 407 r/min的電流值按同一作者在文獻[7]給的數(shù)據(jù)作了更正。
由文獻[6]所給實測數(shù)據(jù)，整流前交流電壓都是233 V，整流后給功率橋直流電壓隨著負載電流增加而降低，由此計算出等效電源內(nèi)阻為24 n，得總等效電阻為2R =32 x2+24 =88 n�？捎嬎愕脮r間常數(shù)f= 107×2/88=2 432 ms。KE= 329/5950=0. 0553 V/r．min。利用式(7)可計算出不同轉速下的平均電流值。計算結果也圖示于圖5。
文獻[6]還給出仿真計算結果：在轉速4 468 時，輸出轉矩0.12 Nm，電流0.191 A。在圖5中以。表示。由圖中曲線，可得到該轉速下平均電流/a。的計算結果和實測數(shù)據(jù)，在表1給出它們的對比。在該負載點(n= 4468 r/min)，實測電流值為0. 241 A，未計及電感時的電流計算值為0.931 A，相差達3.9倍，而按本文公式計算的電流值0. 218A，比文獻[6]仿真計算的0 191 A更接近實測電流值。
例2 內(nèi)置式轉子有槽定子的無刷直流電動機
在文獻[4]給出一臺內(nèi)置式轉子有槽定子的無刷直流電動機數(shù)據(jù)：450 V，26 kW，星形接法，p=3，一相繞組R=0.06 n．L=3 1 mH，該文給出該樣機的實測數(shù)據(jù)見圖6曲線2。該電機的時間常數(shù)比較大：f=3. 110. 06= 51:67 ms，在所討論的轉速范圍，比值z約0. 05左右，比較小。按照所給電機數(shù)據(jù)，計算結果見圖6。
在負載點n= 1180 r/min，實測電流值為50 A，未計及電感時的電流計算值為800 A，相差達16倍，而按本文公式計算的電流值為54 A，與實測電流值接近得多。
從上述示例可見，電流計算曲線與實測曲線的接近程度較好。計算結果的偏離可能與樣機反電勢實際波形和設定條件不完全相同有關，此外還與電感值和電阻值的測定準確程度有關。文獻[1]特別指出，測試時，隨著負載電流增加繞組溫升升高，繞組電阻會增大，從而引起特性本身的變化。
5結語
1)從上述兩個不同結構不同功率等級的典型電機示例驗證比較可見，未計及電感時的電流特性距離實測特性差距很大，而計及電感時計算的電流特性與實測特性相當接近。這說明，對于無刷電機計算和分析研究，繞組電感是必須考慮的；本文的分析和給出的計算公式可用于工程計算。
2)本文給出計及電感時的平均電流和平均電磁轉矩的簡潔計算公式，它們計及電感時的值和不計電感時的差距由電機的電磁時間常數(shù)和轉速決定。
3)考慮電感時，無刷直流電動機的轉矩系數(shù)Kr將大于反電勢系數(shù)KE。
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