一維時(shí)間序列重構(gòu)無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)混沌吸引子特征
閏世杰1，曹繼偉2，王長(zhǎng)義1
(1渤海船舶職業(yè)學(xué)院，遼寧葫蘆島125000；2.沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，遼寧沈陽(yáng)110023)
摘要：基于相空間重構(gòu)原理，針對(duì)無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)的混沌模型，運(yùn)用一維時(shí)間序列在高維情形下對(duì)低維混沌吸引子進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后的方程具有和原動(dòng)力方程相同的動(dòng)力學(xué)特性，并通過(guò)基于混沌優(yōu)化算法的改進(jìn)方法對(duì)重構(gòu)前后方程的]yapunov指數(shù)進(jìn)行比較，并通過(guò)與小波變換后的相圖比較證明了重構(gòu)方法的實(shí)用性。結(jié)果表明：采用的重構(gòu)方法是有效的，與前人的方法比較具有簡(jiǎn)單、快速的特點(diǎn)，為進(jìn)一步研究混沌預(yù)測(cè)和混沌控制提供了基礎(chǔ)條件。
關(guān)鍵詞：相空間重構(gòu)；時(shí)間序列；吸引子；無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)；混沌
中圖分類號(hào)：TM33 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1004—7018(2008)05—0018—03
0引言
無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、非線性的系統(tǒng)，在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中經(jīng)常出現(xiàn)一些不規(guī)則的現(xiàn)象，如轉(zhuǎn)矩的劇烈震蕩、噪聲和不穩(wěn)定運(yùn)行等[1]，這些現(xiàn)象都會(huì)嚴(yán)重影響無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)的性能，所以有必要研究這些現(xiàn)象發(fā)生的特征并判斷這些現(xiàn)象的出現(xiàn)，以便對(duì)電機(jī)混沌運(yùn)行進(jìn)行控制。由于混沌系統(tǒng)的復(fù)雜性，在現(xiàn)實(shí)中混沌模型又多是未知的，所以由實(shí)際觀測(cè)的混沌時(shí)間序列來(lái)研究原混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特征具有特別的意義；但是由于實(shí)際所能直接觀測(cè)的混沌數(shù)據(jù)又是極為有限的，如電機(jī)系統(tǒng)中只能觀測(cè)電機(jī)的外部行為，如轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)矩，而無(wú)法實(shí)時(shí)測(cè)得電機(jī)內(nèi)部行為，如電流、電壓等數(shù)據(jù)，因此由一維時(shí)間序列重構(gòu)混沌吸引子就具有更為深廣的意義。
通常，一維時(shí)間序列的混沌吸引子重構(gòu)都是在低維條件下進(jìn)行，通過(guò)確定****嵌入維數(shù)和延時(shí)時(shí)間間隔來(lái)重構(gòu)吸引子。但是復(fù)雜的動(dòng)力系統(tǒng)的混沌吸引子重構(gòu)對(duì)其要求是極為苛刻的，而且****嵌入維數(shù)和延遲時(shí)間間隔的確定又富有技巧性并且需要一定的計(jì)算時(shí)間。因此，若可以在高維環(huán)境下對(duì)吸引子進(jìn)行重構(gòu)，就可以省去這些步驟，有助于混沌控制方案的實(shí)施。
1重構(gòu)原理及重構(gòu)模型
對(duì)于混沌動(dòng)力學(xué)的研究表明：長(zhǎng)期演化的混沌動(dòng)力系統(tǒng)中任一一維時(shí)間序列中都蘊(yùn)含著整個(gè)系統(tǒng)演化的信息，因此可以從任一一維時(shí)間序列中提取長(zhǎng)期演化的混沌系統(tǒng)的信息，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu)。Takens從理論上證明了可以從系統(tǒng)的一個(gè)變量的時(shí)間序列就可以重構(gòu)一個(gè)同胚于原來(lái)系統(tǒng)的混沌吸引子。
定理：設(shè)時(shí)為m維緊致流形，F(xiàn)為M上的C 2相量場(chǎng)，Φ t是F產(chǎn)生的流，V是M上的光滑函數(shù)，由  定義Φ F,V(x)：M-R 2m+1是個(gè)嵌入。 當(dāng)嵌人定理應(yīng)用于觀測(cè)到的一維時(shí)間序列中時(shí)，它隱含意味著存在一個(gè)擁有2m+1個(gè)變量光滑函數(shù)可以反映出原方程的動(dòng)力學(xué)特征。以往的研究中[2]，多采用計(jì)算****嵌入維數(shù)以便在較低維中重建混沌吸引子，但是當(dāng)計(jì)算出的****嵌入維大于3時(shí)，低維中重構(gòu)吸引子和高維中重構(gòu)都一樣無(wú)法展示出混沌吸引子的樣子，因此本文中直接以在高維中進(jìn)行吸引子重構(gòu)，并觀察重構(gòu)后方程任意三維的圖形和單一變量流圖進(jìn)行判斷吸引子特征是否保留。
高維相空間重構(gòu)的思想就是：估計(jì)重構(gòu)的動(dòng)力系統(tǒng)的維數(shù)，將已觀測(cè)到的時(shí)間序列分成2m+1段子時(shí)間序列，將2m+l段子時(shí)間序列作為2m+1維的每維數(shù)據(jù)，通過(guò)最小二乘法擬合出光滑函數(shù)的方程系數(shù)，從而完成重構(gòu)。所用的重構(gòu)模型為：
2無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)吸引子重構(gòu)及對(duì)比分析
2 1吸引子重構(gòu)
在一定的假定條件下，經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換、線形仿射變換和時(shí)間尺度變換后[3-5]，可得到深海機(jī)器人元刷推進(jìn)電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的狀態(tài)方程：
式中：μ，γ，σ和υ為動(dòng)力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)。ud,uq,Tl為經(jīng)過(guò)變換后的直軸電壓、交軸電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩。id、iq、ω為變換后的直軸電流、交軸電流和電機(jī)轉(zhuǎn)速。
設(shè)所研究的推進(jìn)電機(jī)參數(shù)取值為μ=1.00、σ=5.58、y=19.55、v=0取電動(dòng)機(jī)空載運(yùn)行一段時(shí)間后突然斷電的情況，則推進(jìn)電機(jī)系統(tǒng)運(yùn)行的初始條件為：  =O。本文采用四階龍格一庫(kù)塔法利用Matlah編制仿真程序，對(duì)推進(jìn)電機(jī)狀態(tài)方程進(jìn)行求解，系統(tǒng)進(jìn)行分 析計(jì)算得到三個(gè)時(shí)間序列，得到的混沌吸引子如圖1所示。
采用轉(zhuǎn)速的時(shí)間序列作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，運(yùn)用上述重構(gòu)方法進(jìn)行重構(gòu)后得到的重構(gòu)方程。重構(gòu)后的系統(tǒng)方程為高維方程，利用龐加萊截面法的思想，在低維空間上觀察重構(gòu)后的方程曲線，對(duì)于其在低維空間之上的曲線觀察，當(dāng)曲線為封閉時(shí)，則高維空間中的曲線也為封閉的(即周期性質(zhì)的)；當(dāng)曲線為隨機(jī)變化，并最終形成不規(guī)則體時(shí)，則認(rèn)為不為周期或是準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)。圖2為重構(gòu)后議程的單變量流圖，文中時(shí)間變量t為龍格-庫(kù)塔法中步長(zhǎng)變量的累加。圖3為任意三個(gè)變量之間關(guān)系。
圖2為單個(gè)變量的時(shí)域圖，其具體分析在下文中進(jìn)行小波分析。
圖3重構(gòu)后任意三變量間吸引子形狀(相對(duì)值，無(wú)單位)
圖3為任意的三個(gè)變量之間的吸引子的形狀，表 明在任意的三維空間中，重構(gòu)后的方程均為不封閉的曲線，帶有一定的混沌特征。
圖2、圖3表明：重構(gòu)后的方程基本保持了原方程的吸引子形狀，每個(gè)變量都具有一定的混沌特征。
2．2重構(gòu)前后的1y印onov指數(shù)的比較
常用的lyapon。v指數(shù)的計(jì)算方法有wolf法和小數(shù)據(jù)法等。本文采用基于10gisfic方程的改進(jìn)wolf計(jì)算方法[6]。其基本思想為：初始選擇與基準(zhǔn)點(diǎn)相差距離L1=1的點(diǎn)作為鄰近點(diǎn)，迭代后兩點(diǎn)相距L2，然后尋找與迭代后的基準(zhǔn)點(diǎn)的新的鄰近點(diǎn)，其標(biāo)準(zhǔn)為：與基準(zhǔn)點(diǎn)的距離L1在0．5—1．2之間，前后兩點(diǎn)的角度不超過(guò)0．1，這一過(guò)程采用10gⅫc(diǎn)方程進(jìn)行快速尋點(diǎn)；重復(fù)進(jìn)行此過(guò)程，得到一系列的L1、L2，通過(guò)式(3)計(jì)算得到ly印onov指數(shù)。
式中：total為總的計(jì)算次數(shù)，h為步長(zhǎng)。
這樣通過(guò)]Viatlab編程得到的前后baponov指數(shù)如表2所示。
重構(gòu)前后兩者均大于0，且兩者相差不大，認(rèn)為重構(gòu)取得了成功，重構(gòu)的方法是有效的，重構(gòu)后的方程可以反映原方程的動(dòng)力學(xué)特性。
2．3重構(gòu)后的相圖與小波分析后的相圖比較分析
小波分析是一種信號(hào)的時(shí)間一尺度(時(shí)間-頻率)分析方法[7]，它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)域和頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種時(shí)間窗和頻率窗均可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。其在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，特別適合探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反常現(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為信號(hào)分析的數(shù)學(xué)顯微鏡。小波分析是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中調(diào)和分析問(wèn)題半個(gè)世紀(jì)以來(lái)研究的結(jié)晶，已經(jīng)應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、流體湍流、天體識(shí)別、分形以及機(jī)械故障診斷等眾多科技領(lǐng)域。
借鑒小波分析中窗口的概念和方法，可以設(shè)計(jì)合適的時(shí)間窗口，對(duì)原方程的混沌吸引子進(jìn)行細(xì)化、剖析，如圖4所示。
對(duì)原方程的混沌吸引子選擇合適的時(shí)間窗口后，取出任意兩個(gè)變量，組成小波分解后流圖，可以得到具有混沌特征的混沌吸引盆，如圖5所示。
這種混沌吸引盆代表著混沌序列中不同頻域的跨度，這個(gè)混沌吸引盆也可以作為原方程混沌吸引子的一個(gè)特征表示。系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu)之后，對(duì)重構(gòu)后系統(tǒng)方程的每一個(gè)變量進(jìn)行同樣的小波變換，得出系統(tǒng)任意兩個(gè)變量隨時(shí)間變換的流圖，如圖6所示。
從圖中可以看出重構(gòu)后的系統(tǒng)變量之間依然保持著原方程混沌的特征。對(duì)重構(gòu)后的系統(tǒng)進(jìn)行小波分解之后得到的由小波系數(shù)和尺度系數(shù)決定的向量之間的關(guān)系，如圖7所示。
仔細(xì)觀察小波變換后的三相相圖，發(fā)現(xiàn)小波變換后的由小波系數(shù)重構(gòu)的高頻量與我們本文中所采用方法重構(gòu)后的相圖有很多相似之處，只是本文中所采用的方式使相圖更加圓滑了一些，那么我們可以這樣理解，經(jīng)過(guò)重構(gòu)后的方程的每一相都是原方程的某一個(gè)頻域下
的特征變換，這樣我們重構(gòu)后的方程就具有原混沌方程的混沌特性，利用這種特性，我們可以運(yùn)用其他的方法對(duì)重構(gòu)后的方程進(jìn)行處理，使它最終能準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)原方程的軌道走向。
3結(jié)語(yǔ)
本文通過(guò)Matlab程序?qū)崿F(xiàn)了基于一維時(shí)間序列在高維情況之下重建無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)動(dòng)力方程，進(jìn)行相空間重構(gòu)后，混沌吸引子的形狀基本保持原混沌吸引子的“蝴蝶效應(yīng)”形狀不變，且對(duì)重構(gòu)后的變量進(jìn)行小波分解后，其由尺度系數(shù)重構(gòu)后的量和小波系數(shù)重構(gòu)后的量都能夠保持原有的混沌特征；從總體上看，重構(gòu)前后的1yapunov指數(shù)又相差不大，且都大于0，都可以說(shuō)明本文中的重構(gòu)方法是有效的、實(shí)用的，可以進(jìn)一步應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)中的工作狀態(tài)的判定等工程問(wèn)題中，為進(jìn)一步進(jìn)行深海用無(wú)刷直流電動(dòng)機(jī)控制提供了有利條件。
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