提高三維邊界元法實用化的有效措施
鄭 鎂 尹建華 楊喜樂 (西安交通大學(xué)710049)
摘 要 采取了四個有效措施以促進(jìn)邊界元法的實用化,它們是,提供了一個適應(yīng)性很強的三維前處理系統(tǒng);將可視化技術(shù)嵌入到分析和優(yōu)化的軟件系統(tǒng)中;采用半解析函數(shù)大幅度地降低了數(shù)值分析問題中的未知數(shù);提供了一個解高階非對稱滿陣方程組的新解法。
敘 詞 邊界元法可視化半解析函數(shù)滿陣方程組
1 引 言
電磁場數(shù)值分析只有幾十年的歷史,由于它的出現(xiàn)使得高壓大容量電工設(shè)備的分析從定性走向了定量,因而節(jié)省了大量原材料,加之結(jié)合優(yōu)化手段提高了設(shè)計水平,所以大大增強了電工產(chǎn)品在國際市場上的競爭力。目前,電磁場數(shù)值分析中使用的離散化方法很多,但基本上可以歸成兩大類:有限元法和邊界元法,另外還有一些方法,可以認(rèn)為是它們的變種或者是該兩種方法的結(jié)合。其中有限元法相對于邊界元法,研究得比較成熟,使用得也比較多,國內(nèi)外已有許多很有特色的軟件包。而邊界元法提出較晚,但因它具有獨特的優(yōu)點,所以一經(jīng)提出,立刻獲得了科技工作者的廣泛關(guān)注。但成熟的邊界元法軟件包尚不多見,主要原因有,缺乏適應(yīng)性很強的前處理系統(tǒng)軟件包;可視化技術(shù)應(yīng)用不夠廣泛,例如80年代后期起的踉蹤處理技術(shù)尚未得到應(yīng)用;剖分單元一般限于三角元或四邊形單元,因此產(chǎn)生的未知數(shù)很多,計算時需要大量的內(nèi)存和CPU時間;由于邊界元法中的系數(shù)陣是滿陣,還缺乏解滿陣的有效方法。本文針對這些問題,介紹采用一些有效措施后獲得的滿意結(jié)果。
2前處理系統(tǒng)
前處理系統(tǒng)提供計算程序中所需要的大量剖分?jǐn)?shù)據(jù),因此是軟件包的重要組成部分。一個好的前處理系統(tǒng)應(yīng)具有適應(yīng)性強、易維護(hù)、易擴充的特點,否則難以推廣。研制的前處理系統(tǒng)適應(yīng)面很寬,它包括與拉格朗日插值函數(shù)對應(yīng)的多邊形單元和與環(huán)帶狀半解析函數(shù)對應(yīng)的環(huán)帶狀單元,前者適用于任意形狀的剖分,后者能解決具有軸對稱結(jié)構(gòu)件的剖分。以前作者曾為多邊形單元單獨研制過一個“積木式”的前處理系統(tǒng)[1],效果很好。鑒于在高壓大容量電工設(shè)備中,具有軸對稱結(jié)構(gòu)的部件數(shù)量很多,因此已將該系統(tǒng)擴充為由兩種類型單元組成的“積木式”前處理系統(tǒng)。由于當(dāng)兩種單元相接時,既要考慮消去重復(fù)節(jié)點,又要顧及被消去節(jié)點上的等效源作用,因此通過采取了一些特殊措施后,才解決了兩個看來互相矛盾的問題。
3可視化技術(shù)的應(yīng)用
可視化技術(shù)在軟件包中主要起著三個方面的作用,前處理、跟蹤處理和后處理。在前處理中[2],可視化技術(shù)可幫助和指導(dǎo)用戶準(zhǔn)備初始數(shù)據(jù),并在自動剖分程序的支持下,可逐一進(jìn)行各組件及整體的顯示。通過圖形,用戶能及時發(fā)現(xiàn)各組件的初始數(shù)據(jù)或各組件間的相互位置是否正確,一旦發(fā)現(xiàn)有誤,可馬上進(jìn)行修改,直到滿意為止。在分析離子源引出系統(tǒng)的自治解及優(yōu)化過程中,將可視化技術(shù)嵌入優(yōu)化分析系統(tǒng),進(jìn)行了跟蹤處理,以便能及時了解進(jìn)程中發(fā)生的問題,特別在調(diào)試階段發(fā)揮了很大的作用,節(jié)省了大量時間,使之在較短的時間內(nèi)完成了調(diào)試。后處理的可視化是在系統(tǒng)中構(gòu)造了一個屏幕編輯系統(tǒng),它將計算機屏幕分成圖形顯示區(qū)、菜單區(qū)和對話區(qū)三部分,不僅可以看到條數(shù)可控的彩色等位線,用顏色填塊顯示的等位線,也可看到場強的分布圖及場強大的區(qū)域顯示,這些圖形都可根據(jù)需要進(jìn)行縮放。
4半解析插值函數(shù)
該方法適用于具有軸對稱結(jié)構(gòu)件的三維場分析,它的基本單元稱為環(huán)帶狀單元,如圖1所示。
設(shè)環(huán)帶狀單元表面的等效源,則沿tl-t2段的艿可表示成:
式中 和分別為點tl和t2的等效源,而Ni和Nz分別為節(jié)點tl和t2的形狀函數(shù),在局部坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:
再將式(1)中的,和 沿圓周方向用Fourier級數(shù)展開,有:
環(huán)帶狀單元j產(chǎn)生在場點i的電位為:
式(3)中沿圓周方向的積分可以由半整數(shù)次的勒讓德函數(shù)Qk-{(Y)表示,即有:
可變換到局部坐標(biāo)系中, 沿軸向方向積分ef(t)dt 因此式(3)可以寫成:
式中令Po1和p02為零,將上式中的積分項進(jìn)行一維高斯積分,且沿圓周方向任意選取2m+l個匹配點,即能求出電荷密度展開式中的各次諧波系數(shù)。
由于表達(dá)式中沿圓周方向可用特種函數(shù)表達(dá),所以它是半解析函數(shù),其中未知數(shù)是Fourier級數(shù)中的各項系數(shù),大量計算表明,該級數(shù)收斂很快。一般m取3~8即可。如果用三角元或四邊形單元剖分,則未知數(shù)肯定比這種單元多,當(dāng)軸對禰件的半徑愈大,則二者的差距就愈大。因此用半解析插值函數(shù)(即用環(huán)帶狀單元剖分)計算,可大幅度降低未知數(shù)的數(shù)目,這對求解方程組是十分有利的。若實際單元之間不是直線而是一條曲線,則可用B樣條基予以展開,這樣組件的剖分?jǐn)?shù)可進(jìn)一步減少,從而達(dá)到了既減少未知數(shù)又提高計算精度的效果,并且適應(yīng)能力也增強了。
5 高階滿陣非對稱線性方程組的新解法
至今為止,數(shù)學(xué)中的計算方法對解滿陣非對稱線性方程組缺乏有效的算法,所以它一直是邊界元法向工程界推廣應(yīng)用的一個瓶頸。本文通過改進(jìn)基于行主元的高斯約當(dāng)消去法而探討了一種新解法,獲得了滿意的效果。
5.1新解法
設(shè)有以階的滿陣線性方程組為:
經(jīng)過第k-l次消去過程后可得:
上式中的上標(biāo)(k-l)表示已完成了第k-l次消去過程后得到的元素這樣直到k-n時,便可以得到方程式消去過程如下
需要指出,高斯一約當(dāng)消去法是建立在高斯消去法的基礎(chǔ)上,但不需要象高斯列主元消去法那樣有一個回代過程。因此必須將這些非零元素存儲起來。根據(jù)上述系數(shù)陣消元的特點,并且為了有效地利用計算機的存儲空間及節(jié)省時間。
5.2存儲方法及其實施
有限元方程中的系數(shù)陣是一個帶狀陣,它的帶寬遠(yuǎn)少于方程組的階數(shù),用波陣法求解時可以節(jié)省大量的內(nèi)存。波陣法實質(zhì)上是高斯一約當(dāng)消去法的一種應(yīng)用,所以用本文的新方法求解滿陣方程時也可節(jié)省大量的內(nèi)存。但在元素的存儲上應(yīng)考慮到滿陣的特點,開辟一個二維數(shù)組來存儲系數(shù)陣[A]中在消去過程中的非零元素。
(1)對于是≤號時,經(jīng)第忌步消去過程后得到的
(2)存放在如下列所示的元素中:;
這樣,只需要在十號個單元的內(nèi)存空間就可存儲本來需要nz個內(nèi)存單元才能存儲的信息。
5.3實驗驗證
計算結(jié)果表明,這種新的解法所需的計算機內(nèi)存資源是高斯列主元消去法的1/4,而在誤差相當(dāng)?shù)臈l件下,計算時間又較高斯列主元消去法減小了很多,約可節(jié)省百分之40左右,它隨方程組階數(shù)的不同而有所不同(參見表1)。以往許多計算方法的改進(jìn),經(jīng)常是節(jié)省了內(nèi)存但增加了CPU時間,或者后者減少了而前者又增加了,但本文的新解法卻獲得了這兩方面的優(yōu)點。目前在有4兆內(nèi)存的微機上已能計算1800×1800階的滿陣線性方程組,從所用的時間及需要的計算機內(nèi)存來看,如此高階數(shù)的線性方程組,過去只能在微機上實現(xiàn),并且使多邊形單元邊界元程序的計算速度提高了4~5倍,而計算機能解的滿陣線性方程組的未知數(shù)的數(shù)目又可增加一倍左右。因此,新解法在將邊界元法推向?qū)嵱没^程中起到了十分重要的作用,而且由于解法的通用性,可以在各個領(lǐng)域中推廣。
(1)C指本文提供的新解法,D指高斯消去法。
(2)算例中的系數(shù)陣A及右端項B的元素如下:
(3)表1說明,用高斯消去法解900×900階的矩陣(使用1386DX機,4兆內(nèi)存),誤差已不能滿足要求。
6結(jié)論
(1)由多邊形剖分單元和環(huán)帶狀剖分單元組成的前處理系統(tǒng)具有很強的適應(yīng)能力,它既適應(yīng)于三維電場、磁場,也適應(yīng)于離子源光學(xué)系統(tǒng)的剖分等。
(2)將可視化系統(tǒng)嵌入到分析和優(yōu)化系統(tǒng)中,可以發(fā)揮多方面的作用,如能提商糾錯和控制能力,特別能提高系統(tǒng)的調(diào)試速度。
(3)引用半解析插值函數(shù),可以大幅度地降低剖分未知數(shù)。本文所介紹的環(huán)帶狀單元對求解具有軸對稱結(jié)構(gòu)的三維電場或磁場都有很高的效率。
(4)本文提供的求解滿陣非對稱線性方程組的新解法,是一種省時省力省資源的有效方法。
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