一維時間序列重構無刷直流電動機混沌吸引子特征
閏世杰1，曹繼偉2，王長義1
(1渤海船舶職業(yè)學院，遼寧葫蘆島125000；2.沈陽工業(yè)大學，遼寧沈陽110023)
摘要：基于相空間重構原理，針對無刷直流電動機的混沌模型，運用一維時間序列在高維情形下對低維混沌吸引子進行重構，重構后的方程具有和原動力方程相同的動力學特性，并通過基于混沌優(yōu)化算法的改進方法對重構前后方程的]yapunov指數進行比較，并通過與小波變換后的相圖比較證明了重構方法的實用性。結果表明：采用的重構方法是有效的，與前人的方法比較具有簡單、快速的特點，為進一步研究混沌預測和混沌控制提供了基礎條件。
關鍵詞：相空間重構；時間序列；吸引子；無刷直流電動機；混沌
中圖分類號：TM33 文獻標識碼：A 文章編號：1004—7018(2008)05—0018—03
0引言
無刷直流電動機是一個多變量、強耦合、非線性的系統，在實際運行過程中經常出現一些不規(guī)則的現象，如轉矩的劇烈震蕩、噪聲和不穩(wěn)定運行等[1]，這些現象都會嚴重影響無刷直流電動機的性能，所以有必要研究這些現象發(fā)生的特征并判斷這些現象的出現，以便對電機混沌運行進行控制。由于混沌系統的復雜性，在現實中混沌模型又多是未知的，所以由實際觀測的混沌時間序列來研究原混沌系統的動力學特征具有特別的意義；但是由于實際所能直接觀測的混沌數據又是極為有限的，如電機系統中只能觀測電機的外部行為，如轉速、轉矩，而無法實時測得電機內部行為，如電流、電壓等數據，因此由一維時間序列重構混沌吸引子就具有更為深廣的意義。
通常，一維時間序列的混沌吸引子重構都是在低維條件下進行，通過確定****嵌入維數和延時時間間隔來重構吸引子。但是復雜的動力系統的混沌吸引子重構對其要求是極為苛刻的，而且****嵌入維數和延遲時間間隔的確定又富有技巧性并且需要一定的計算時間。因此，若可以在高維環(huán)境下對吸引子進行重構，就可以省去這些步驟，有助于混沌控制方案的實施。
1重構原理及重構模型
對于混沌動力學的研究表明：長期演化的混沌動力系統中任一一維時間序列中都蘊含著整個系統演化的信息，因此可以從任一一維時間序列中提取長期演化的混沌系統的信息，進而對系統進行重構。Takens從理論上證明了可以從系統的一個變量的時間序列就可以重構一個同胚于原來系統的混沌吸引子。
定理：設時為m維緊致流形，F為M上的C 2相量場，Φ t是F產生的流，V是M上的光滑函數，由  定義Φ F,V(x)：M-R 2m+1是個嵌入。 當嵌人定理應用于觀測到的一維時間序列中時，它隱含意味著存在一個擁有2m+1個變量光滑函數可以反映出原方程的動力學特征。以往的研究中[2]，多采用計算****嵌入維數以便在較低維中重建混沌吸引子，但是當計算出的****嵌入維大于3時，低維中重構吸引子和高維中重構都一樣無法展示出混沌吸引子的樣子，因此本文中直接以在高維中進行吸引子重構，并觀察重構后方程任意三維的圖形和單一變量流圖進行判斷吸引子特征是否保留。
高維相空間重構的思想就是：估計重構的動力系統的維數，將已觀測到的時間序列分成2m+1段子時間序列，將2m+l段子時間序列作為2m+1維的每維數據，通過最小二乘法擬合出光滑函數的方程系數，從而完成重構。所用的重構模型為：
2無刷直流電動機吸引子重構及對比分析
2 1吸引子重構
在一定的假定條件下，經過坐標變換、線形仿射變換和時間尺度變換后[3-5]，可得到深海機器人元刷推進電動機系統的數學模型的狀態(tài)方程：
式中：μ，γ，σ和υ為動力系統結構參數。ud,uq,Tl為經過變換后的直軸電壓、交軸電壓和負載轉矩。id、iq、ω為變換后的直軸電流、交軸電流和電機轉速。
設所研究的推進電機參數取值為μ=1.00、σ=5.58、y=19.55、v=0取電動機空載運行一段時間后突然斷電的情況，則推進電機系統運行的初始條件為：  =O。本文采用四階龍格一庫塔法利用Matlah編制仿真程序，對推進電機狀態(tài)方程進行求解，系統進行分 析計算得到三個時間序列，得到的混沌吸引子如圖1所示。
采用轉速的時間序列作為基礎數據，運用上述重構方法進行重構后得到的重構方程。重構后的系統方程為高維方程，利用龐加萊截面法的思想，在低維空間上觀察重構后的方程曲線，對于其在低維空間之上的曲線觀察，當曲線為封閉時，則高維空間中的曲線也為封閉的(即周期性質的)；當曲線為隨機變化，并最終形成不規(guī)則體時，則認為不為周期或是準周期運動。圖2為重構后議程的單變量流圖，文中時間變量t為龍格-庫塔法中步長變量的累加。圖3為任意三個變量之間關系。
圖2為單個變量的時域圖，其具體分析在下文中進行小波分析。
圖3重構后任意三變量間吸引子形狀(相對值，無單位)
圖3為任意的三個變量之間的吸引子的形狀，表 明在任意的三維空間中，重構后的方程均為不封閉的曲線，帶有一定的混沌特征。
圖2、圖3表明：重構后的方程基本保持了原方程的吸引子形狀，每個變量都具有一定的混沌特征。
2．2重構前后的1y印onov指數的比較
常用的lyapon。v指數的計算方法有wolf法和小數據法等。本文采用基于10gisfic方程的改進wolf計算方法[6]。其基本思想為：初始選擇與基準點相差距離L1=1的點作為鄰近點，迭代后兩點相距L2，然后尋找與迭代后的基準點的新的鄰近點，其標準為：與基準點的距離L1在0．5—1．2之間，前后兩點的角度不超過0．1，這一過程采用10gⅫc方程進行快速尋點；重復進行此過程，得到一系列的L1、L2，通過式(3)計算得到ly印onov指數。
式中：total為總的計算次數，h為步長。
這樣通過]Viatlab編程得到的前后baponov指數如表2所示。
重構前后兩者均大于0，且兩者相差不大，認為重構取得了成功，重構的方法是有效的，重構后的方程可以反映原方程的動力學特性。
2．3重構后的相圖與小波分析后的相圖比較分析
小波分析是一種信號的時間一尺度(時間-頻率)分析方法[7]，它具有多分辨率分析的特點，而且在時域和頻域都具有表征信號局部特征的能力，是一種時間窗和頻率窗均可以改變的時頻局部化分析方法。其在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，在高頻部分具有較高的時間分辨率和較低的頻率分辨率，特別適合探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反�，F象并展示其成分，所以被譽為信號分析的數學顯微鏡。小波分析是數學領域中調和分析問題半個世紀以來研究的結晶，已經應用于信號處理、圖像處理、流體湍流、天體識別、分形以及機械故障診斷等眾多科技領域。
借鑒小波分析中窗口的概念和方法，可以設計合適的時間窗口，對原方程的混沌吸引子進行細化、剖析，如圖4所示。
對原方程的混沌吸引子選擇合適的時間窗口后，取出任意兩個變量，組成小波分解后流圖，可以得到具有混沌特征的混沌吸引盆，如圖5所示。
這種混沌吸引盆代表著混沌序列中不同頻域的跨度，這個混沌吸引盆也可以作為原方程混沌吸引子的一個特征表示。系統進行重構之后，對重構后系統方程的每一個變量進行同樣的小波變換，得出系統任意兩個變量隨時間變換的流圖，如圖6所示。
從圖中可以看出重構后的系統變量之間依然保持著原方程混沌的特征。對重構后的系統進行小波分解之后得到的由小波系數和尺度系數決定的向量之間的關系，如圖7所示。
仔細觀察小波變換后的三相相圖，發(fā)現小波變換后的由小波系數重構的高頻量與我們本文中所采用方法重構后的相圖有很多相似之處，只是本文中所采用的方式使相圖更加圓滑了一些，那么我們可以這樣理解，經過重構后的方程的每一相都是原方程的某一個頻域下
的特征變換，這樣我們重構后的方程就具有原混沌方程的混沌特性，利用這種特性，我們可以運用其他的方法對重構后的方程進行處理，使它最終能準確地預測原方程的軌道走向。
3結語
本文通過Matlab程序實現了基于一維時間序列在高維情況之下重建無刷直流電動機動力方程，進行相空間重構后，混沌吸引子的形狀基本保持原混沌吸引子的“蝴蝶效應”形狀不變，且對重構后的變量進行小波分解后，其由尺度系數重構后的量和小波系數重構后的量都能夠保持原有的混沌特征；從總體上看，重構前后的1yapunov指數又相差不大，且都大于0，都可以說明本文中的重構方法是有效的、實用的，可以進一步應用于實際系統中的工作狀態(tài)的判定等工程問題中，為進一步進行深海用無刷直流電動機控制提供了有利條件。
|
